FILOSOFIA E MATEMATICA

La matematica (ST) è sempre stata oggetto di discussioni filosofiche di vario genere che hanno notevolmente influenzato il pensiero di molti filosofi. I Pitagorici ad esempio, avevano una visione "matematica" del mondo, una prospettiva in cui tutto si doveva ricondurre ad un numero. Il numero è l’archè (D), cioè l’origine di tutto, è inteso come l’elemento ordinatore della realtà, è il limite contrapposto all’illimite, l’ordine contrapposto al disordine. In questa prospettiva si inserisce quello che viene chiamato il dualismo pitagorico: è la disparità che c’è fra i numeri pari e quelli dispari che rappresenta la contrapposizione fra limite ed illimite. Il dispari nella sua essenza è una entità limitata, cioè terminata e compiuta, mentre il pari è illimitato, cioè non compiuto e non terminato. Dietro questo concetto astratto della contrapposizione fra pari e dispari si cela una visione del mondo in cui il bene, l’ordine e la perfezione stanno dalla parte del dispari, mentre il male, il disordine e l’imperfezione da quella del pari. Il mondo è armonico ed è un ordine misurabile. Tutta questa concezione del mondo entra in crisi non appena, in conseguenza del famoso teorema di Pitagora, si scoprirono i numeri irrazionali, quei numeri non appartenenti al campo dei razionali quindi non riducibili a frazioni, cioè non misurabili, non quantificabili. Il numero, proprio per sua natura, deve essere reale, e costatare l’esistenza di numeri irrazionali compromise seriamente la filosofia Pitagorica. Il numero irrazionale non è riducibile a frazione, quindi non è "misurabile", e viene così a mancare quel connotato fondamentale del numero che lo rende misura del mondo.

L’argomento matematico fu successivamente ripreso dopo Parmenide da Zenone, che ci interessa soprattutto per i suoi paradossi. Essi nascono dall’esigenza di confutare la pluralità e il movimento, affermando quindi i principi di Parmenide. Particolarmente interessanti sono i paradossi della tartaruga e quello della freccia. Matematicamente si può dimostrare che ciò che dice Zenone è vero, Achille infatti dovrebbe correre all’infinito per raggiungere la tartaruga, ma è anche interessante la confutazione che ci offre Aristotele. Il presupposto concettuale di questo paradosso è la tesi che, posta l’infinita divisibilità dello spazio, il movimento di un corpo non raggiungerà mai la sua meta, poiché, dovendo superare gli infiniti punti di cui è costituita una qualsiasi distanza, vi impiegherà un tempo infinito. Aristotele distingue il problema su due diversi piani concettuali, cioè il piano della realtà e quello del pensiero. Nella realtà esiste solo il finito, il concetto di infinito è solo la possibilità mentale di aumentare o diminuire indefinitamente una qualsiasi quantità. Ciò che Aristotele confuta è soprattutto il fatto che il reale esista solo come finito, ed in conformità a questo principio offre una dimostrazione matematica convincente, ma che trova i suoi limiti non appena si ammette l’infinità del reale.

Dal momento che la divisibilità all’infinito è logicamente e matematicamente legittima, si deve ammettere una "sfasatura" fra quello che è il piano logico-matematico e quello fisico-reale. Zenone è particolarmente importante per avere ammesso la possibilità della divisione all’infinito, e quindi avere posto uno dei concetti che sta alla base del calcolo infinitesimale. Nell’atomismo di Democrito si riprende il concetto di infinito poiché si afferma la convinzione dell’esistenza di una pluralità di mondi. Il reale, cioè l’essere è sostanzialmente ed essenzialmente formato da una casuale associazione di atomi. Come gli atomi si scontrano sulla Terra, così si possono scontrare in altri luoghi, generando altri mondi, altro essere. Non è possibile pensare un limite oltre il quale gli atomi non possano andare, un limite oltre il quale non si associno, ed è da qui che deriva l’infinità spaziale dell’universo. L’atomismo, pur rimanendo la più "scientifica" dottrina dell’antichità, ha notevoli limiti che sono dati dalla mancanza del metodo sperimentale.

Se in Socrate l’argomento matematico era meno rilevante, in Platone assume notevole importanza. All’interno del mondo platonico formato da idee (quindi non il mondo empirico) ce ne sono alcune dette idee-matematiche, che corrispondono alle entità che stanno alla base di aritmetica e geometria. Vi sono delle idee che sono proprie del pensiero matematico, idee come l’uguaglianza, il quadrato, il cerchio; nella realtà empirica non troviamo mai l’uguaglianza assoluta, o un cerchio o un quadrato perfetti, essi sono solo copie di idee perfette. All’interno dell’articolato pensiero di Platone ha una notevole rilevanza il Timeo. E’ in esso infatti che Platone riprende i concetti Pitagorici: la struttura del cosmo formata dal Demiurgo risulta esplicitamente di tipo matematico. Le cose sono infatti ridotte ai quattro elementi empedoclei, che a loro volta sono ridotti a poche figure geometriche ulteriormente ridotte a numeri. La matematica è la "sintassi" del mondo, i numeri sono gli schemi strutturali delle cose, cioè il codice di interpretazione di tutto quanto esiste.

Aristotele assume una prospettiva diversa da Platone. Non vede la matematica come fondamento del mondo empirico, ma riflette in termini logici sul problema dell’infinito. Tramite un ragionamento basato sull’atto e la potenza, Aristotele afferma che l’infinito non può esistere in atto, cioè come sostanza o attributo di sostanza, poiché ogni realtà è determinata e compiuta. L’infinito esiste solo come potenza o in potenza e consiste nella possibilità di addizionare o suddividere in modo illimitato realtà limitate. La serie numerica ad esempio è infinita in potenza poiché può essere infinitamente aumentata, come infinito è lo spazio poiché può essere infinitamente suddiviso. Anche il tempo è infinito, pur essendo ogni momento finito, può aumentare infinitamente. Per Aristotele l’infinito non è ciò al di fuori di cui non c’è niente, concordemente al pensiero comune, bensì ciò al di fuori di cui c’è sempre qualcosa. Il collegamento con i Pitagorici viene con l’identificazione dell’infinito con l’incompiuto, e quindi imperfetto. Il limite della visione di Aristotele è il fatto che considera l’infinito solo in termini quantitativi e matematici, non come farà Plotino che esalterà il concetto di infinito "positivo", ma in questi termini si ha piuttosto una prospettiva teologica e metafisica.

Euclide, Archimede ed Apollonio segnarono i risultati più significativi di una matematica la cui rilevanza era stata sminuita poiché i filosofi avevano incentrato il loro pensiero su altre tematiche. Euclide in Elementi, una sua opera particolarmente importante, capovolge la relazione fra aritmetica e geometria rispetto alla prospettiva dei pitagorici. I pitagorici credevano che le figure fossero formate dalla discontinuità dei numeri interi, invece per Euclide sono solo scansioni, cioè punti privilegiati entro il continuo delle grandezze geometriche. Quella che successivamente sarà chiamata algebra, non è che una parte della geometria. Archimede invece, tramite l’esperienza trovò il fondamento di quei concetti che richiedono giustificazione tramite precisi e rigorosi processi formali.

Successivamente la matematica viene progressivamente perdendo la sua importanza, infatti assumerà un ruolo molto importante la fede, anzi più precisamente il complesso ed articolato rapporto che c’è fra fede e ragione. In Plotino forse si parla ancora di infinito, ma non è più sotto un’ottica matematica.

In modo analogo anche Averroè, Avicenna e Maimonide posero al centro del loro pensiero altri problemi, ed anche S. Bonaventura ed Alberto Magno, che pure ripresero l’aristotelismo, non si concentrarono sull’infinito. Nessuna differenza per Tommaso d’Aquino, Duns Scoto e Marsilio da Padova: i pensatori di questo periodo si concentrarono sulla fede, sui problemi relativi ad essa, e sul rapporto tra fede e ragione. Marsilio da Padova elaborò invece nuove teorie politiche.

Ockham (SB) è l’ultimo dei pensatori "scolastici", ed è nella sua filosofia che muta notevolmente la prospettiva del tempo. Con la fine della scolastica, il rapporto fede ragione non è più il fulcro della ricerca filosofica, anzi perde proprio di significato.

La riaffermazione di certi principi si ha con la nuova prospettiva Umanistico Rinascimentale, nella quale nella nostra analisi ha notevole rilevanza la figura di Cusano. Il punto di partenza della filosofia di Cusano è la determinazione della natura della conoscenza. Dio è l’infinito, è la coincidenza di tutti gli opposti. Dal momento che la nostra conoscenza è di tipo finito, e si sviluppa per confronto ed analogia, non ci è possibile confrontarci con l’infinito. E’ la nostra stessa logica che è incompatibile con l’infinito: in esso infatti non vale il principio di identità e non contraddizione poiché c’è coincidenza fra il minimo e il massimo assoluto. L’ignoranza è "dotta" secondo Cusano, ed è ignoranza proprio per l’incompatibilità fra finito ed infinito. Radicalmente opposta come si è visto, è "l’operazione" di Zenone, poiché egli introduce l’infinito nel finito.

Il problema dell’infinito in particolare venne ripreso da Giordano Bruno (SB) che per via speculativa comprese ciò che altri dimostreranno con complessi ragionamenti matematici. Dalla natura, intesa nella sua totalità, non è possibile escludere alcun aspetto, così il reale è infinito poiché espressione dell’infinità divina, ed essendo infinito (riprendendo la speculazione di Cusano) gli opposti vi coincidono. La tesi di Bruno è sostanzialmente articolata in varie parti. Innanzi tutto si ha un abbattimento di quelle che lui chiama le "mura esterne" dell’universo poiché l’universo è esteso senza limiti. Ciò in parte implica la necessità ontologica della pluralità dei mondi ed anche della loro abitabilità. L’esistenza di più mondi è secondo Bruno (oltre che necessariamente certa) finalizzata anche alla glorificazione della potenza di Dio, poiché tutti mondi sono espressione della sua opera. C’è quindi una identità strutturale fra terra e cielo, tutto infatti è un risultato della volontà divina, quindi non ci sono discriminazioni gerarchiche fra le varie parti del creato. Lo spazio cosmico assume in quest’ottica un carattere unitario omogeneo ed infinito, ed in questo senso è geometrizzato sulla base del modello euclideo. In particolare il carattere infinito dell’universo suscitò scalpori nel campo matematico e filosofico del tempo. Tuttavia queste innovative tesi non erano affiancate da dimostrazioni matematiche, poiché Bruno vi pervenne soltanto per via speculativa. Ciò che ci interessa particolarmente in Bruno è questo rapporto con l’infinito, infinito che non è un limite della conoscenza come in Cusano, ma anzi espressione di una nuova prospettiva ideologica.

Siamo agli albori della rivoluzione scientifica (ST) e muta notevolmente il carattere della scienza. La matematica è sempre più riaffermata nella sua funzione quantificatrice, poiché uno dei caratteri principali della scienza è quello di essere un sapere matematico. Si fonda infatti sul calcolo e sulla misura, la scienza procede matematizzando i propri dati, cioè cercando di quantificare.

E’ proprio il carattere quantitativo della scienza che rappresenta una delle principali innovazioni della scienza moderna. Accanto a questo carattere matematico, la scienza è un sapere sperimentale (si fonda infatti sull’osservazione), intersoggettivo (poiché le sue scoperte devono essere valide per tutti), ed il suo fine è la conoscenza oggettiva del mondo e delle sue leggi. La matematica è ora la logica della scienza.
Particolarmente interessante è lo sviluppo della matematica nel quattrocento e nel cinquecento. In questi due secoli abbiamo un famosissimo nome, Leonardo da Vinci (SB), che è considerato come uno degli intelletti più universali della storia umana. Ma in questo periodo la matematica "commerciale" ha molta importanza (è anche da tenere presente il contesto storico). Particolarmente significative sono le opere di due italiani, Leonardo Fibonacci (1170-1250) e Luca Pacioli (SB) (1445-1517). Il primo diede il rilancio agli studi matematici in occidente, e nella sua opera, il Liber abaci, espose un sistema di numerazione posizionale indoarabico pensando all’utilità che il commercio avrebbe potuto trarne. Fibonacci è anche autore di una serie numerica che è conosciuta come i "numeri di Fibonacci" (D).
Luca Pacioli nella sua Summa introdusse la partita doppia. E’ da notare come si esalti in questi due secoli il carattere funzionale della matematica. Studiò anche elementi di geometria spaziale, una parte della matematica che è stata recentemente reintrodotta e consiste in pratica in quello che è ora lo studio dei frattali.

In questo periodo furono numerose le figure di matematici che accrebbero il patrimonio della conoscenza. Particolarmente significativi furono Scipione dal Ferro (1465-1517), Niccolò Fontana detto Tartaglia (1506-1557), Girolamo Cardano (1501-1571), Raffaele Bombelli (1526?-1578?), François Viète (1540-1603), John Napier (1550-1617) ed Henry Briggs (vedi Formule di Briggs (D)) (1556-1631).

Per quanto riguarda la geometria, a parte Luca Pacioli, furono modesti i contributi. Tutto è incentrato sullo studio delle regole di definizione della prospettiva scientifica, ed in questo senso furono notevoli gli studi di Leon Battista Alberti (SB) (1404-1472), Albrecht Dürer (1471-1528) e Piero della Francesca (SB) (1410-1492) che applicarono (in particolare Piero della Francesca) la terza dimensione nelle loro opere. La geometria subirà tuttavia una rivoluzione quando Cartesio e Fermat uniranno la geometria classica con la moderna algebra, dando vita alla geometria analitica.
E’ anche interessante l’uso (perché proprio di uso strumentale si tratta) che Andreas Osiander (1498-1552) fa della matematica. Siamo nel clima della rivoluzione astronomica (ST) e la tesi di Copernico stravolge gli schemi convenzionali, sia per quanto riguarda il piano teologico-ideologico, che quello puramente astronomico. Secondo Osiander la nuova teoria astronomica di Copernico ha un carattere puramente "ipotetico e matematico", essa è un puro strumento di calcolo la cui funzione è quella di "salvare le apparenze o i fenomeni", senza alcuna pretesa di rispecchiare la realtà effettiva. Questo concetto è noto con il nome di strumentalismo, ma ciò che sostiene Osiander è in contrasto con il pensiero originale di Copernico. E’ interessante notare il fatto che ciò è matematico non necessariamente rispecchia la realtà. Questa è una prospettiva che con la rivoluzione scientifica sarà superata proprio per il carattere intersoggettivo e matematico della scienza, anche se lo strumentalismo non muore, infatti esso è ancora uno dei tanti "mezzi"della filosofia moderna.

Non si può parlare di rivoluzione scientifica senza il padre del metodo sperimentale, cioè Galileo Galilei (SB). Si rese padre di varie scoperte scientifiche, ma ciò che ci interessa veramente è l’incommensurabilità che secondo Galilei c’è fra ragione e fede. Ciò porta implicazioni nel campo astronomico per esempio, dove i nuovi modelli astronomici dovrebbero essere tranquillamente accettati anche dalla chiesa. Non è andata così, ma ciò che Galilei aveva intuito nasconde una profonda verità. Matematica e fede non sono in contraddizione, non ha senso che lo siano, sono infatti due discipline che hanno oggetti diversi. La matematica è indipendente dalla fede e viceversa, non c’è rapporto fra discipline che "agiscono" su piani diversi.

La matematica, ed in particolare la geometria, furono valorizzate ulteriormente con Cartesio (SB) e Fermat, che come precedentemente detto, fondendo l’algebra classica con la moderna geometria daranno vita alla geometria analitica. Per Cartesio le scienze come l’aritmetica o la geometria che trattano solo di cose semplici e generali, senza porsi il problema se esistano o meno in natura, contengono qualcosa di certo e indubitabile. Le scienze invece che partono dalla considerazione di cose composte sono dubbie ed incerte (pur essendo anch’esse scienza).

Un punto fondamentale del pensiero di Cartesio è il dualismo, dualismo fra la sostanza pensante (cioè la res cogitans), inestesa, libera e consapevole, e la sostanza estesa (res extensa), spaziale, inconsapevole e meccanicamente determinata. Per "risolvere" questo dualismo Cartesio ricorre all’ipotesi della ghiandola pineale, ma in questo contesto ci interessa soprattutto mettere in evidenza se la sostanza estesa possa essere identificata con l’infinito. La sostanza estesa è l’infinito, non è autocosciente ed è opposta al cogito. Nella visione meccanicistica di Cartesio, si ha una realtà del tipo causa(effetto(trasformazione. La geometria di Cartesio permise infatti la rappresentazione e la "visualizzazione" nel piano di curve corrispondenti ad equazioni di secondo grado in modo intuitivo, poiché ad esempio una circonferenza poteva essere rappresentata con un semplice compasso, strumento canonico della geometria, oppure una parabola con l’intersezione di un piano con un cono, anch’essa operazione canonica.

Abbiamo visto che la matematica è stata "interpretata" in vari modi nel corso dei secoli, chi l’ha posta come cardine della realtà, chi ne ha elogiato il metodo, chi l’ha usata come strumento, tuttavia essa è sempre stata una realtà con la quale molti filosofi hanno dovuto confrontarsi, poiché i problemi della matematica sono molto vicini a quelli della filosofia. Non è infatti un caso che i più grandi matematici di tutti i tempi siano stati anche fra i più grandi filosofi.

Relatore:
Luca Torre